はじめに
今回は平均について見ていきましょう。
平均も中央値と同様に代表値の１つで、
標本に含まれるデータの各値を合計したものを標本の大きさで割ることで計算できます。
それに加えて統計的にどんな意味をもっているかもあわせて考えていきます。
平均の計算
今回も身長データとしてAさん（166cm）、Bさん（170cm）、Cさん（172cm）の３人のデータで考えていきます。
平均の計算方法は言うまでもありませんが、
３人の身長の値をすべて足し合わせたものを標本の大きさである「３」で割ることで計算できます。
今回のケースでは
（166cm＋170cm＋172cm）÷３
となり、これを計算するとおよそ169.3cmとなります。
平均の統計学的意味
上記の計算方法についてはご存じだと思いますが、
平均にもまた統計的な別の性質があります。
その性質は
各値との距離の２乗の合計を最短にする値
という性質です。
ポイントは距離の２乗という点です。
前回のDay7でみた中央値は、各値との単純な距離の合計を最短とするものでした。
それに対して平均は各値との距離の２乗の合計を最短にしてくれる性質があります。
数直線を引いて具体的に考えてみましょう。
Aさん、Bさん、Cさんの３人のデータに加え、
３人の身長の値から計算した平均169.3cmを基準値として赤い線で記しています。
このときこの平均を基準として「各値との距離の２乗の合計」を計算してみます。
平均169.3cmから
Aさんとの距離の２乗は3.3の２乗、
Bさんとの距離の２乗は0.7の２乗、
そしてCさんとの距離の２乗は2.7の２乗となります。
これらを合計すると18.7となりました。
実はこのようにして計算される「各値との距離の２乗の合計」を最短にしてくれるような基準というのが平均になります。
（図を再掲します）
つまり他のどんな値を基準に「各値との距離の２乗の合計」を計算したときよりも、上記のように「平均」を基準に計算したときの値が最短になります。
これは前回のDay７でみた中央値とは距離の考え方が異なりますよね。
中央値の場合は
【中央値】各値との距離の合計を最短にする
という性質でした。
これに対して平均は
【平均】各値との距離の２乗の合計を最短にする
この２乗というのが平均という指標のポイントになります。
平均は距離の２乗の合計を最短にする値、
とくに２乗をベースとした性質があるという感覚を
ぜひここで掴んでおきましょう。
まとめ
最後に今回の記事のポイントを整理します。
- 平均は標本の各値を合計し標本の大きさで割ることで計算できる代表値
- 平均には「各値との距離の２乗の合計を最短にする値」という統計的な性質をもっている
- 平均はとくに「２乗」をベースとする指標という点がポイントである
今回も最後まで読んでいただきありがとうございました！
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