統計学

[統計Day7] 中央値

はじめに

今回は中央値について見ていきましょう。

中央値は代表値の1つで、標本におけるちょうど真ん中の順位の値となります。

それに加えて統計的にどんな意味をもっているかもあわせて考えていきます。

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文系出身データアナリストのtotaです!初心者でも分かるように解説していきますね!

中央値の計算

いま手元の標本に成人男性の身長という変数があったとします。

この標本にはAさん、Bさん、Cさんの3人が含まれていて、

Aさんの身長が166cm、Bさんの身長が170cm、Cさんの身長が172cm

というデータとなっていました。

この3人の中央値を考えたいのですが、

中央値というのは変数のちょうど真ん中の順位の値になります。

この場合は標本の大きさが「3人」ですのでちょうど真ん中の順位は2番目となります。

そして2番目にあたるBさんの170cmというのが中央値になるというわけです。

ちなみに標本の大きさが今回の場合のように奇数であればちょうど真ん中の順位が1つに決まります。

一方で標本の大きさが偶数であればちょうど真ん中の順位が2つ生じてしまいます。

この場合は一般にはその真ん中の順位2人のデータの平均(足して2で割った値)を中央値とします。

中央値はちょうど真ん中の順位の値!

中央値の統計学的意味

このようにして求まる中央値ですが、

実は統計的には別の意味もあります。

それは

中央値は各値との距離の合計を最短にする値である

という性質です。

この

「各値との距離の合計を最短にする」

というのはどういうことか、

以下の数直線を使って考えてみましょう。

上記の数直線上にはAさん(166cm)、Bさん(170cm)、Cさん(172cn)を並べています。

このとき中央値は真ん中の順位のBさんで170cmですね。

ここで先ほどの

「中央値は各値との距離の合計を最短にする値である」

という中央値の性質を考えます。

この「各値との距離」というのは基準となる中央値(Bさんの170cm)から3人それぞれの身長の値との距離のことを言っています。

したがって「各値との距離の合計」というのは

基準となる中央値(Bさんの170cm)から

Aさん(166cm)との距離4cm

Bさん(170cm)との距離0cm

そして、Cさん(172cm)との距離2cm

3つの距離を足したものになります。

これを計算すると4+0+2=6となります。

(図を再掲します)

この距離というのは基準をどこに設定するかで変わってきます。

いまは基準を中央値である170cmにして距離を計算しましたが、

この基準を少しずらせば計算される距離の合計も変わってきますよね。

どこに基準を設定するかというのはいろいろと考えられるわけですが、

そのいろいろな基準候補値のなかで、

その基準をもとに計算される「各値との距離の合計」を最短にしてくれるような基準値、

これが実は中央値というわけなんですね。

これが

中央値は各値との距離の合計を最短にする値である

という意味になります。

この性質は代表値としてとてもふさわしいものです。

というのも標本の各値との距離が最短になるということは、

言い換えれば標本の各値と一番近くにあるということができます。

標本の各値と一番近くにある値は確かにその標本を代表するような値として納得感がありますよね。

それもあって中央値は代表値として頻繁に用いられる重要な指標ということになります。

中央値は標本の各値との距離が最短となる値なので代表値としてふさわしい!

まとめ

最後に今回の記事のポイントを整理します。

  • 中央値は標本のちょうど真ん中の順位の値
  • 標本の大きさが偶数の場合には真ん中の2つの順位に該当する値の平均を中央値とする
  • 中央値には「各値との距離の合計を最短にする値である」という統計的な性質をもっている
  • 中央値の標本の各値と一番近くにある値という性質は代表値として納得感がある

今回も最後まで読んでいただきありがとうございました!

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